Question

【题目】已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}．若A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，

解得：x=1或x=2，即A={1，2}，

∵B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，

∴BA，CA，

若BA，显见B中至少有一个元素1，即B≠，

当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意；

当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意，

∴a=2或a=3，

则a的取值集合为{2，3}；

若CA，

当C是空集时，△=m2﹣8＜0，即﹣2 ＜m＜2 ；

当C为单元素集合时，△=0，m=±2 ，

此时C={ }或C={﹣ }，不满足题意；

当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3，

综上，m的取值集合为{m|m=3或﹣2 ＜m＜2 }

【解析】解出集合A，分析满足A∪B=A，A∩C=C时即为BA，CA，分类讨论B与C，求出a，m的范围即可.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的并集运算和集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握并集的性质：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB，反之也成立；交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．