Question

函数f（x）的定义域为D={x|x＞0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f（m•n）=f（m）+f（n）．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（2）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤2，且f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令m=n=1，即可求得f（1）的值；
（2）依题意，可求得f（4）=2，利用f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（3x+1）+f（2x-6）≤2=f（4）?

3x+1＞0，             2x-6＞0，            (3x+1)(2x-6)≤4

解之即可．

解答：解：（1）令m=n=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．…（4分）
（2）∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2．…（6分）
所以f（3x+1）+f（2x-6）≤2?f（3x+1）+f（2x-6）≤f（4）．…（8分）
因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以f（3x+1）+f（2x-6）≤f（4）?

3x+1＞0，             2x-6＞0，            (3x+1)(2x-6)≤4

?3＜x≤

4+ 31

3

．…（13分）
故x的取值范围为（3，

4+ 31

3

]．…（14分）

点评：本题考查抽象函数，着重考查赋值法，突出考查函数单调性的性质的应用，考查方程思想与计算能力，属于中档题．