Question

【题目】如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为．

（1）求半球的半径．

（2）求平面SAD与平面SBC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

设球的半径为r,由S﹣ABCD 为正四棱锥,利用球的半径表示棱锥的体积即可求解;

以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出平面SAD与平面SBC的法向量,则向量夹角的余弦值或其相反数即为所求.

（1）连接AC，BD交于点O，连接SO，

因为S﹣ABCD 为正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，

设球的半径为r，则，，

所以，

，

解得r，即半球的半径为；

（2）以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（r，0，0），B（0，r，0）C（﹣r，0，0），D（0，﹣r，0），S（0，0，r），

所以，，

设平面SAD的法向量为，

由，得，

设平面SBC的法向量，

由，得，

由，

因为平面SAD与平面SBC所成的二面角为锐角,

所以平面SAD与平面SBC所成的二面角余弦值为．