Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n＝a＋n－4(n∈N^*)．

(1)求证：数列{a_n}为等差数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：(1)证明：当n＝1时，有2a₁＝a＋1－4，

即a－2a₁－3＝0，

解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．

当n≥2时，有2S_n－1＝a＋n－5，

又2S_n＝a＋n－4，

两式相减得2a_n＝a－a＋1，

即a－2a_n＋1＝a，也即(a_n－1)²＝a，

因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.

若a_n－1＝－a_n－1，则a_n＋a_n－1＝1.

而a₁＝3，所以a₂＝－2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，所以a_n－1＝a_n－1，

即a_n－a_n－1＝1，因此数列{a_n}为首项为3，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，

所以数列{a_n}的通项公式

a_n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a_n＝n＋2.