Question

设函数f(x)=

1

xlnx

（x＞0且x≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知2

1

x

＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=-

lnx+1

x2ln2x

，若f′（x）=0，则x=

1

e

列表如下

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，1)	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-
f（x）	单调增	极大值f( 1 e )	单调减	单调减

（Ⅱ）在2

1

x

＞xa两边取对数，得

1

x

ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

（1）
由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，f(x)≤f(

1

e

)=-e，
为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2