Question

设函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

与

i

的夹角，（其中

i

=(1，0)），设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则S_n=

n

n+1

．

Answer 1

分析：函数 f（x）=

1

x+1

，点An（n，f（n））（n∈N*），则能推导出Sn=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

，利用裂项求和即可

解答：解：函数 f（x）=

1

x+1

，点An（n，f（n））（n∈N*），则，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），
若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

与

i

的夹角
∴tanθ=

1

n+1 n

=

1

n(n+1)

∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则
=

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案为：

n

n+1

点评：本题考查数列的极限和运算，裂项求数列的和，解题时要注意三角函数的灵活运用．