Question

如图12-6，给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l∶x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系

注：文科题设还有条件a≠1

图12-6

Answer 1

解法一：依题意，记B(－1,b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别y=0和y=－bx.设点C(x,y)，

则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，

知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得｜y｜=          ①

依题设，点C在直线AB上，故有：y=－(x－a)

 

由x－a≠0,得b=－        ②

 

将②式代入①式得：y²［1+］=［y－ ］²

 

整理得：y²［(1－a)x²－2ax+(1+a)y²］=0

若y≠0，则(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)；

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)满足上式

综上得点C的轨迹方程为：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

 

∵ a≠1，

 

∴=1(0≤r＜a )              ③

由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；

当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段

图12-25

 

解法二：如图12-25，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足

(Ⅰ)当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0

 

由CE∥BD，得｜BD｜= (1+a)

 

∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD

∴2∠COA=π－∠BOD

 

∵tg(2∠COA)=,

 

tg(π－∠BOD)=－tg∠BOD,

 

tg∠COA=,

 

tg∠BOD=

 

∴

 

整理得：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)

 

(Ⅱ)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0，0)，满足上式

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，得点C的轨迹方程为(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

以下同解法一.