Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）当时，，，            1分
所以，当时，；当时，；              3分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．              4分
（Ⅱ）因为，
所以处切线的斜率，
所以切线的方程为，
令，得 .                                     5分
当时，要使得点的纵坐标恒小于1，
只需，即.                     6分
令，
则，                                                      7分
因为，所以，
①若即时，，
所以，当时，，即在上单调递增，
所以恒成立，所以满足题意.                            8分
②若即时，，
所以，当时，，即在上单调递减，
所以，所以不满足题意.                                9分
③若即时，.
则、、的关系如下表：

		0
	递减	极小值	递增

所以，所以不满足题意.                    11分
综合①②③，可得，当时，时，
此时点的纵坐标恒小于1.                                                  12分
点评：导数是研究函数性质的有力工具，求解函数单调性、极值、最值时，不要漏掉函数的定义域，另外，一般含参数的问题离不开分类讨论，分类讨论时要做到分类标准不重不漏.