Question

f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若a_n=f（n），（n∈N^*），则a₂₀₁₁=________．

Answer 1

2012
分析：通过对已知不等式经过仿写得到两个左右两边相同函数但方向不同的不等式，利用f（x）≤f（x-6）+6，以及f（x）≥f（x-6）+6得到f（x）=f（x-6）+6，从而得到一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出a₂₀₁₁．
解答：∵f（x+3）≤f（x）+3
∴f（x）≤f（x-3）+3≤f（x-6）+6
∵f（x+2）≥f（x）+2
∴f（x）≥f（x-2）+2≥f（x-4）+4≥f（x-6）+6
∴f（x）=f（x-6）+6
∵a_n=f（n），
∴a_n-a_n-6=6
∵a₁=2
∴{a_n}每隔6项取一项构成一个等差数列
∴a₂₀₁₁=a₁+（336-1）×6=2012
故答案为2012
点评：解决题目中给了一些恒成立的等式或不等式，来判断函数的性质问题，一般通过仿写得到更多的等式和不等式，从中判断出函数的性质．