Question

如图，在平面角为60⁰的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？

Answer 1

解析:

对于本题若这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。

解：∵PC、PD是两条相交直线，

∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。

∵PC⊥，    ∴PC⊥l,

又∵PD⊥，∴PD⊥l。

∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=60⁰。

∴CPD=120⁰，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。

说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。