如图.在边长为4的菱形ABCD中.∠DAB=60°．点E.F分别在边CD.CB上.点E与点C.D不重合.EF⊥AC.EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置.使平面PEF⊥平面ABFED．(Ⅰ)求证:BD⊥平面POA,(Ⅱ)当PB取得最小值时.请解答以下问题:(i)求四棱锥P-BDEF的体积,(ii)若点Q满足AQ=λQP .试探究:直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
（i）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ii）若点Q满足

=λ

（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于

？并说明理由．

分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则

=（ 2

-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）确定

的坐标，求出平面PBD的法向量

=(1，0，1)，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．

解答：

（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2

．
又设PO=x，则OH=2

-x，OA=4

-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2

-x，2，0），
故

=（ 2

-x，2，-x），（6分）
所以|

2(x-

)2+10

，
∴当x=

时，|PB|_min=

．
此时PO=

，OH=