Question

如图，反比例函数y=f（x）（x＞0）的图象过点A（1，4）和B（4，1），点P（x，y）为该函数图象上一动点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．记四边形OCPD（O为坐标原点）与三角形OAB的公共部分面积为S．
（1）求S关于x的表达式；
（2）求S的最大值及此时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据图象求得反比例函数模型，由题设，得f(x)=

4

x

（x＞0），再分x≤1时，1＜x＜4时，x≥4时三种情况求得其面积建立模型．
（2）根据（1）函数是分段函数每一段根据函数的特点取得取大值，然后从中取最大的，作为原函数的最大值．

解答：解：（1）由题设，得f(x)=

4

x

（x＞0），（2分）
当x≤1时，S=

15

8

x2，
当1＜x＜4时，S=4-

x2

8

-

2

x2

，
当x≥4时，S=

30

x2

，
故S=

15 8 x2 x≤1 4- x2 8 - 2 x2 1＜x＜4 30 x2 x≥4

（8分）
（2）易知当x≤1时，S=

15

8

x2为单调递增函数，S≤

15

8

，（10分）
当x≥4时，S=

30

x2

为单调递减函数，S≤

15

8

，（12分）
当1＜x＜4时，S=4-

x2

8

-

2

x2

在区间（1，2）上单调递增，在区间（2，4）上单调递减，得

15

8

＜S≤3，
故S的最大值为3，
此时x=2．（16分）

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数求最值，基本思想是求每一段上取最大值，从中取最大的作为原函数的最大值．