Question

已知函数f（x）=x-ln（x+1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：e1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＞n+1，（n∈N^*）．

Answer 1

（1）f′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（x＞-1）．
令f′（x）＞0，解得x＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，即最小值f（0）=0；
（2）由（1）可知：x＞0时，f（x）＞0，即x-ln（x+1）＞0，即ln（x+1）＜x．
令x=

1

n

，得ln

n+1

n

＜

1

n

．
∴ln2+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴ln(2×

3

2

×…

n+1

n

)=ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴n+1＜e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．