题目内容

己知函数 $数学公式$ 是f（x）图象点的两点，横坐标为 $数学公式$ 的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂的定值；
（2）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，T_n为数列{a_n}前n项和，当T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N*都成立时，试求实数m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设 $数学公式$ ，B_n为数列{b_n}前n项和，证明： $数学公式$ ．

解：（1）由已知得，x₁+x₂=1
∴y₁+y₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =1
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
$\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
①+②得 $\text{[math]}$ ，
当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又当n=1时， $\text{[math]}$ 也适合上式，故 $\text{[math]}$
故T_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N*都成立
即m＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 恒成立，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
所以实数m的取值范围为：（ $\text{[math]}$ ，+∞）
（3）因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
故B_n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
分析：（1）由已知得，x₁+x₂=1，由对数的计算公式代入可求结果；（2）由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，进而可得a_n，Tn，下面由恒成立问题的求法可得；（3）由前面的解答可得 $\text{[math]}$ ，代入可得b_n，由不等式的放缩法和裂项相消法可证．
点评：本题为数列的综合应用，涉及函数与不等式的内容，其中列项求和及不等式的放缩法是解决问题的关键，属中档题．