Question

设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论函数f（x）的单调性． 
 （2）求f（x）在区间[-

3

4

 ， 

1

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数，然后求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围，进而解决单调性问题，注意定义域；
（2）分别求f（x）在区间[-

3

4

 ， 

1

4

]上的极值和区间端点的函数，进行比较可得函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意可得：f′（x）=

2

2x+3

+2x=

4x2+6x+2

2x+3

=

2(2x+1)(x+1)

2x+3

．
所以当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＜0；
当x＞-

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）单调增加，在区间（-1，-

1

2

）单调递减．
（2）有（1）可知函数在x=-

1

2

处取极值
而f（-

3

4

）=ln

3

2

+

9

16

，f（-1）=1，f（-

1

2

）=ln2+

1

4

，f（

1

4

）=ln

7

2

+

1

16

∴f（x）在区间[-

3

4

 ， 

1

4

]上的最大值为ln

7

2

+

1

16

，最小值为ln2+

1

4

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的值域，同时考查了计算能力，属于基础题．