题目内容
在R+上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M?R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（| 1 |
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（1）求证：
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（2）求证：f-1（x1）•f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
（3）解不等式：f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
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分析：（1）根据当且仅当x∈M?R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]，且f（
）=1，对M中的任意x1、x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），即可证得结论；
（2）根据y=f（x）在M上递减，可得y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]，任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M），代入f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）即可证得结论；（3）f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
等价于：f-1（x2-x+x-1）≤f-1（1），利用函数的单调性，即可把原不等式转化为
，解此不等式组即可求得结果．
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（2）根据y=f（x）在M上递减，可得y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]，任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M），代入f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）即可证得结论；（3）f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
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解答：解：（1）证明：因为
∈M，又
=
×
，f（
）=1，
所以f（
）=f（
×
）=f（
）+f（
）=2∈[0，2]，所以
∈M，
又因为f（
）=f（
×
）=f（
）+f（
）=3∉[0，2]，所以
∉M；
（2）因为y=f（x）在M上递减，所以y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]
任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），
所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M）
因为x1+x2=f（y1）+f（y2）=f（y1y2），
所以y1y2=f-1（x1+x2），又y1y2=f-1（x1）f-1（x2），
所以：f-1（x1）•f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
（3）因为y=f（x）在M上递减，所以f-1（x）在[0，2]上也递减，
f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
等价于：f-1（x2-x+x-1）≤f-1（1）
即：
所以
≤x≤2．
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所以f（
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又因为f（
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（2）因为y=f（x）在M上递减，所以y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]
任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），
所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M）
因为x1+x2=f（y1）+f（y2）=f（y1y2），
所以y1y2=f-1（x1+x2），又y1y2=f-1（x1）f-1（x2），
所以：f-1（x1）•f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
（3）因为y=f（x）在M上递减，所以f-1（x）在[0，2]上也递减，
f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
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即：
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所以
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点评：此题考查抽象函数及其应用，反函数以及利用函数的单调性解不等式等问题，特别是问题（3），利用函数的单调性把不等式f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤
转化为
，是解题的关键，体现了转化的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．
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练习册系列答案
相关题目
）=1；（3）对M中的任意x1、x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f-1（x）．
∈M，但
∉M；
R+时，函数值f(x)的集合为[0, 2]；(2)f(
)=1；(3)对M中的任意x1、x2都有f(x1•x2)= f(x1)+ f(x2)；(4)y=f(x)在M上的反函数为y=f–1(x)．
ÎM，但
ÏM；
）=1；（3）对M中的任意x1、x2都有f=f（x1）+f（x2）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f-1（x）．
∈M，但
∉M；
．