Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=

x2+1

-

1

2

ax．
（Ⅰ）当a=

2

时，讨论f（x），在（-∞，0）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x），在（-∞，0）上为单调递减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定x＜0时函数的解析式，再利用导数，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）先确定x＜0时函数的解析式，再利用f（x）在（-∞，0）上为单调递减函数，建立不等式，分离参数，即可确定a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

2

时，设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=

x2+1

-

1

2

ax，
∴f（-x）=

x2+1

+

2

2

x
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-

x2+1

-

2

2

x（x＜0）
∴f′（x）=-

x

x2+1

-

2

2

令f′（x）＜0，可得x＞-1；令f′（x）＞0，可得x＜-1
∴函数在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减；
（Ⅱ）x＜0时，f（x）=-

x2+1

-

1

2

ax
∴f′（x）=-

x

x2+1

-

a

2

∵f（x）在（-∞，0）上为单调递减函数，
∴-

x

x2+1

-

a

2

≤0在（-∞，0）上恒成立
∴

a

2

≥-

x

x2+1

在（-∞，0）上恒成立
∵-

x

x2+1

=

1

1+ 1 x2

≤1
∴

a

2

≥1，
∴a≥2．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，综合性强．