Question

已知f（x）=acosx+bsinx+c（x∈R）的图象经过点（0，1），(

π

2

，1)，当x∈[0，

π

2

]时，恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先根据图象经过点（0，1），(

π

2

，1)，得出a，b，c的关系，将原函数只用一个参数来表示，再结合三角函数的有界性求出函数的最值列不等关系，最后解不等式即可求实数a的取值范围．

解答：解：由题意，得

a+c=1?c=1-a b+c=1?b=1-c=a

（3分）∴f(x)=a(cosx+sinx)+1-a=

2

asin(x+

π

4

)+1-a（5分）
当x∈[0，

π

2

]时，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，sin(x+

π

4

)∈[

2

2

，1]（8分）
由|f（x）|≤2，得|

2

a+1-a|≤2（12分）
即-2≤(

2

-1)a+1≤2?-

3

2 -1

≤a≤

1

2 -1

解得-3

2

-3≤a≤

2

+1（16分）

点评：本题主要考查了正弦函数的定义域和值域、函数恒成立问题．