Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

Answer 1

设焦距为2c，则F₁(－c,0)，F₂(c,0)
∵k_l＝tan60°＝
∴l的方程为y＝ (x－c)
即：x－y－c＝0
∵F₁到直线l的距离为2
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)由题可知y₁＜0，y₂＞0
直线l的方程为y＝ (x－2)
(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b²(a²－4)＝0
∵＝2，∴－y₁＝2y₂，代入①②得
得＝　　　　 ⑤
又a²＝b²＋4　　　　　　　 　　⑥
由⑤⑥解得a²＝9　b²＝5
∴椭圆C的方程为＝1

略