题目内容
已知向量
=(4，5cosα)，
=(3，-4tanα)
（1）若
∥
，试求sinα
（2）若
⊥
，且α∈(0，
)，求cos(2α-
)的值．
| a |
| b |
（1）若
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
分析：（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．
（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．
（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．
解答：解：（1）因为向量
=(4，5cosα)，
=(3，-4tanα)
由
∥
得，所以15cosα+16tanα=0，即15-15sin2α+16sinα=0，
解得：sinα=
（舍）或sinα=-
．
（2）由
⊥
得，12-20cosα•tanα=0，
∴sinα=
，
又α∈(0，
)，∴cosα=
，
sin2α=2sinαcosα=2×
×
=
，cos2α=2cos2α-1=
，
cos(2α-
)=cos2αcos
+sin2αsin
=
．
| a |
| b |
由
| a |
| b |
解得：sinα=
| 5 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
（2）由
| a |
| b |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
又α∈(0，
| π |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
sin2α=2sinαcosα=2×
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
cos(2α-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 31 |
| 50 |
| 2 |
点评：本题考查向量的平行与垂直，坐标运算，同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．
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