题目内容
正四面体ABCD边长为2，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M为线段AO上一点，且∠BMC=90°，则二面角M-BC-O的余弦值为 ．
【答案】分析：延长DO，交BC于点E，则DE⊥BC且E为BC中点，连接ME，则∠MEO是二面角M-BC-O的平面角，求出OE，ME，即可得出结论．
解答：
解：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点．
设正四面体ABCD棱长为1，得等边△ABC中，BN=
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△ABC的中心，得BO=
=
Rt△ABO中，AO=
设MO=x，则Rt△BOM中，BM=
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=
BC
∴
∴MO=
延长DO，交BC于点E，则DE⊥BC且E为BC中点，连接ME，则∠MEO是二面角M-BC-O的平面角
∵MO=
，OE=
∴ME=
=
∴
=
故答案为
．
点评：本题考查正四面体的性质和线面垂直位置关系的认识等知识，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．
解答：
解：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点．设正四面体ABCD棱长为1，得等边△ABC中，BN=
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△ABC的中心，得BO=
=
Rt△ABO中，AO=
设MO=x，则Rt△BOM中，BM=
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=
BC∴
∴MO=
延长DO，交BC于点E，则DE⊥BC且E为BC中点，连接ME，则∠MEO是二面角M-BC-O的平面角
∵MO=
，OE=
∴ME=
=
∴
=
故答案为
．点评：本题考查正四面体的性质和线面垂直位置关系的认识等知识，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．
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