题目内容
设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数．且x＜0时，f′（x）g（x）+g′（x）f（x）＜0且g（3）=0，则不等式：f（x）g（x）＜0的解集为（ ）
分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），
因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=-f（3）g（3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故选C．
因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=-f（3）g（3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故选C．
点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性、单调性是解题的关键．
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