Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。

（1）求证：；

（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由三垂线定理AC垂直射影BD,则AC垂直斜线DE。（2）在面积最小时，最小，则．可得，可证平面。作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.

（1）证明：连接，设与相交于点。

因为四边形是菱形，所以。

又因为平面，平面

为上任意一点，平面，所以

（2）连．由（I），知平面，平面，所以．

在面积最小时，最小，则．

，解得

由且得平面则，

又由 得，而，故平面

作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.

在直角三角形中，

所以，设，则。

由得。

由得，即