Question

椭圆的中心在原点，其左焦点为F（-

2

，0），左准线l的方程为x=-

3 2

2

．PQ是过点F且与x轴不垂直的弦，PQ的中点M到左准线l的距离为d．
（1）求此椭圆的方程；    
（2）求证：

PQ

d

为定值；
（3）在l上是否存在点R，使△PQR为正三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解出即可；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，分别作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分别为P′，Q′，M′．利用梯形的中位线定理和椭圆的第二定义即可得出；
（3）如图所示．设在l上存在点R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR为正三角形，直线PQ的斜率为k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中点M（x_M，y_M）．把直线PQ的方程与椭圆联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ|，利用中点坐标公式可得M，进而得到|MR|，再利用|RM|=

3

2

|PQ|即可得出k．

解答：解：（1）由题意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解得

a2=3 b2=1

．
∴此椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，
分别作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分别为P′，Q′，M′．
∴d=|MM′|=

|PP′|+|QQ′|

2

=

|PQ|

2e

，
∴

|PQ|

d

=2e=

2 6

3

．
（3）如图所示．设在l上存在点R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR为正三角形，直线PQ的斜率为k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中点M（x_M，y_M）．
由题意得

y=k(x+ 2 ) x2 3 +y2=1

整理得(1+3k2)x2+6

2

k2x+6k2-3=0．
∴x1+x2=-

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

．
∴M(

-3 2 k2

1+3k2

，

2 k

1+3k2

)，
|PQ|=

1+k2

[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 3 (1+k2)

1+3k2

．．
则|MR|=

1+(- 1 k )2

|

-3 2 k2

1+3k2

+

3 2

2

|=

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

．
由|MR|=

3

2

|PQ|，∴

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

=

3

2

×

2 3 (1+k2)

1+3k2

，
两边平方化简得k²+1=2k²，解得k=±1．
当k=1时，点M(-

3 2

4

，

2

4

)，直线MR的方程为y-

2

4

=-(x+

3 2

4

)．当x=-

3 2

2

时，y=

2

，即点R(-

3 2

2

，

2

)．
同理，当k=-1时，可得R(-

3 2

2

，-

2

)．
综上可得：在l上存在点R(-

3 2

2

，±

2

)，使△PQR为正三角形．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、梯形的中位线定理和椭圆的第二定义、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆联立可得根与系数的关系、弦长公式、点坐标公式、正三角形的性质等是解题的关键．