Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）当a=-3时，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）设，是否存在实数，对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=-3时，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，令f'（x）=0得：x₁=-3、，由此能求出y=f（x）的单调区间和极值．
（2）在[0，2]上，是增函数，故对于x₂∈[0，2]，．设．h'（x₁）=6x₁+2，由h'（x₁）=0，得．要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，-，由此能求出实数a的范围．
解答：解：（1）当a=-3时，f（x）=x³+4x²-3x，f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）=0得：x₁=-3、
所以f（x）在单调递减．在单调递增   
所以f（x）_极大=f（-3）=18，f（x）_极小=，
（2）在[0，2]上是增函数，故对于x₂∈[0，2]，．
设．h'（x₁）=6x₁+2，
由h'（x₁）=0，得．
要使对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]使得h（x₁）=g（x₂）成立，只需在[-1，1]上，
-，
在（-1，-）上h′（x₁）＜0，在（-，1）上h′（x₁）＞0，
∴时，h（x₁）有极小值，
∵h（-1）=1-a²-2a，h（1）=5-a²-2a，
∵在[-1，1]上，h（x₁）只有一个极小值，
故h（x₁）的最小值为-，
，
解得-2≤a≤0．
点评：本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．