题目内容

一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为 $数学公式$ ，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
（I）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（II）设该同学通过笔试的大学所数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解：（I）如果该同学通过各校笔试的概率分别为 $\text{[math]}$ ，
且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，
∴要求的概率是P=1- $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0，1，2，3，那么
P（ξ=0）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=1）= $\text{[math]}$ ，
该同学恰好通过两所大学笔试包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
∴该同学恰好通过两所大学笔试的概率是P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ，
∴通过大学考试的所数ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

通过大学考试的所数ξ的数学期望为：0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，根据对立事件的概率写出结果．
（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0，1，2，3，然后分别求出其概率，列出分布列，求出数学期望．
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率以及分布列和数学期望，本题解题的关键是利用对立事件写出要求的概率，注意数字的运算不要出错．