Question

已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）设，T_n是{a_n}的前n项和，方程S_n+T_n=2008是否有解？说明理由；
（3）是否存在正数λ，对任意的正整数n，不等式λx_n-4S_n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，能推导出x₁=1，d=2，由此能求出{x_n}的通项公式．
（2）由，知，所以，则方程S_n+T_n=2008为：．由此能导出方程S_n+T_n=2008无解．
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，．由于，所以0＜λ＜28．
解答：解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以------------------------------------------（4分）
（2），则---（5分）  --（6分）
则方程S_n+T_n=2008为：
令：，则f（n）单调递增----------------------------------------（8分）
当n≤44时，
当n≥45时，所以方程无解．---------------（10分）
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，-------------------------------------------（12分）
即----------------------------------------------------------------（14分），
由于，所以0＜λ＜28--------------------------------------------（16分）
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．