Question

一动圆与两圆（x+4）²+y²=25和（x-4）²+y²=4都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）

．

Answer 1

分析：设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆（x+4）²+y²=25，圆（x-4）²+y²=1都外切得|MO|=5+r、|MF|=2+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，找出a与b的值，写出双曲线的方程即为动点M的轨迹方程，问题得到解决．

解答：解：设动圆的半径为r，
由圆（x+4）²+y²=25，得到圆心为O（-4，0），半径为5；
圆（x-4）²+y²=4的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|MO|=5+r，|MF|=2+r，
则|MO|-|MF|=（5+r）-（2+r）=3＜|OF|，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
∴a=

3

2

，c=4，
∴b²=c²-a²=

55

4

，
则动圆圆心M的轨迹方程是

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）．
故答案为：

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）

点评：本题主要考查双曲线的定义．本题考查的知识点是圆的方程、椭圆的性质及椭圆与直线的关系，解题的关键是根据已知条件中未知圆与已知圆的位置关系，结合“圆的位置关系与半径及圆心距的关系”，探究出动圆圆心M的轨迹，进而给出动圆圆心M的轨迹方程．