Question

某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）与月份x的近似关系为：f(x)=x(x+1)(35-2x)(x∈N^*,且x≤12).

（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？

（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问p至少为多少万件？

Answer 1

解：（1）g(1)=f(1)=×1×2×33=(万件).

    当x≥2时，g(x)=f(x)-f(x-1)

=x(x+1)(35-2x)-(x-1)x(37-2x)

=x·［（35+33x-2x²）-（-37+39x-2x²）］=x·（72-6x）=x·（12-x）

    当x=1时，g(x)也成立.

∴g(x)=x(12-x)(x∈N^*,且x≤12).

∵g(x)≤［］²=.

∴当x=12-x,即x=6时，g(x)_max=（万件），

    故6月份该商品的需求量最大，最大需求量为万件.

（2）依题意，对一切x∈{1，2，…，12}有

px≥g(1)+g(2)+…+g(x)=f(x).

∴p≥(x+1)(35-2x)(x=1,2,…，12).

∵h(x)=(35+33x-2x²)

=［-2(x-)²］

∴h（x）_max=h(8)=1.14.

    故p≥1.14，

    故每个月至少投入1.14万件,才可以保证每个月都保证供应.