Question

某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：f（x）=

1

150

x（x+1）（35-2x）（x∈N且x≤12）．
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件；
（2）如果将该商品每月都投放市场p万件，要保持每月都满足市场需求，则p至少为多少万件．

Answer 1

分析：（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）化简得出解析式，再利用需求量超过1.4万件，结论不等式，即可求得结论；
（2）为满足市场需求，则P≥g（x），利用配方法求得g（x）_max=

36

25

，即可求得结论．

解答：解：（1）由题设条件，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：f（x）=

1

150

x（x+1）（35-2x）（x∈N且x≤12），
∴x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）=

1

25

x(12-x)
∵x=1时，f（1）=

11

25

满足上式
∴g（x）=

1

25

x(12-x)
令

1

25

x(12-x)＞1.4，整理得x²-12x+35＜0，∴5＜x＜7
∵x∈N且x≤12，
∴x=6
（2）依题意，对一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）．
∴p≥

1

150

（x+1）（35-2x）（x=1，2，…，12），
设h（x）=

1

150

（35+33x-2x²）=

1

150

[

1369

8

-2（x-

33

4

）²]，
∴h（x）_max=h（8）=1.14．故p≥1.14．
故每个月至少投放1.14万件．

点评：本题考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，考查解不等式，考查函数最值及其意义．