Question

某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：
f（x）=

1

150

x（x+1）（35-2x）（x∈N*，且x≤12）．
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？

Answer 1

分析：（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）化简得出解析式并求出当x为多少时g（x）的最大值即可；
（2）对一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）列出不等式得到P≥一个函数，求出函数的最大值得到P的取值范围．

解答：解：（1）g(1)=f(1)=

1

150

×1×2×33=

11

25

．
当x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）=

1

150

x(x+1)(35-2x)-

1

150

(x-1)x(37-2x)=

1

150

x•[(35+33x-2x2)-(-37+39x-2x2)]=

1

150

x•(72-6x)=

1

25

x•(12-x)．
所以：g(x)=

11 25    x=1 1 25 x(12-x)  (x∈N*，2≤x≤12)

∵g(x)≤

1

25

[

x+(12-x)

2

]2=

36

25

．∴当x=12-x，即x=6时，g(x)max=

36

25

（万件）．
故6月份该商品需求量最大，最大需求量为

36

25

万件．
（2）依题意，对一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）．
∴p≥

1

150

(x+1)(35-2x)（x=1，2，12）．
设h(x)=

1

150

(35+33x-2x2)，
∴h（x）_max=h（8）=1.14．故p≥1.14．
故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数最值及其意义．