Question

如图所示，已知两条异面直线AB与CD所成的角等于，且AB＝m，CD＝n，平面MNPQ与AB、CD都平行，且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上．

(1)求证：MNPQ是平行四边形；

(2)当M点在何位置时，MNPQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)由于AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，则AB∥MN． 　　同理，AB∥PQ　∴MN∥PQ　同理MQ∥NP　故MNPQ是平行四边形． 　　(2)由于AB与CD所成的角等于，AB∥MN，CD∥MQ，则sin∠NMQ＝sin 　　设CM∶MA＝λ∶1，则CM∶CA＝λ∶(1＋λ)，AM∶AC＝1∶(1＋λ)． 　　则MN＝AB·，MQ＝CD· 　　∴SMNPQ＝MN·MQ·sin∠NMQ 　　　　　　　＝≤ 　　其中当λ＝1时，SMNPQ达到最大值mnsin，故当M点位于AC中点时，MNPQ的面积最大，最大面积等于mnsin．