Question

(本题满分12分)

如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M， N分别为AB,DF的中点.

（1^）若CD=2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；

（2^）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.

Answer 1

（1^）取CD的中点G，连结MG，NG，

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2.

所以MGCD，MG=2，NG=，                               -----------------3分

因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，

所以MN=.                                   ----------------- 6分

（2^）假设直线ME，BN共面，                                   -----------------7分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN。

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。                   -----------------9分

又AB//CD，所以AB//平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN，                                                -----------------10分

又AB//CD//EF ,所以EN//EF，这与EN交EF于E矛盾，

故假设不成立，所以ME与BN不共面，它们是异面直线。          -----------------12分