Question

定义：sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，若已知函数f(x)=ax-

sgn(x)

a|x|

（a＞0且a≠1）满足f（1）=

3

2

．
（1）解不等式：f（x）≤2；
（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=

3

2

，可求a的值，根据所给定义，分类讨论化简函数，分别解不等式，即可得到结论；
（2）表示出相应函数，将不等式等价变形，利用换元法，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，f（1）=a-

1

a

=

3

2

，∴a=2或-

1

2

（舍），…（1分）
当x＞0时，f（x）=2x+

1

2x

≥2，∵f（x）=2x+

1

2x

≤2，∴2x+

1

2x

=2，∴2x=

1

2x

=1，∴x=0；
∵x＞0，∴无解，…（3分）
当x=0时，f（0）=2⁰-

0

20

=1≤2，∴x=0，…（4分）
当x＜0时，f（x）=2^x-

-1

2-x

=2^x+1≤2，∴x≤0，
因为x＜0，所以x＜0，…（6分）
综上所述，不等式的解集为（-∞，0]．…（7分）
（2）因为t＞0，所以f（t）=2^t+

1

2t

，f（2t）=2^2t+

1

22t

，
∴f（2t）+mf（t）+4=2^2t+

1

22t

+m（2^t+

1

2t

）+4≥0恒成立，…（8分）
令u=2^t+

1

2t

（t＞0）∈[2，+∞），…（9分）
则2^2t+

1

22t

+m（2^t+

1

2t

）+4=u²-2+mu+4=u²+mu+2≥0恒成立，
∴m≥-（u+

2

u

）（u∈[2，+∞））恒成立，
∴m≥[-（u+

2

u

）]_max（u∈[2，+∞）），…（11分）
∵y=-（u+

2

u

）在[2，+∞）上单调递减，…（12分）
∴[-（u+

2

u

）]_max（u∈[2，+∞））=-3，…（13分）
综上所述，m≥-3．…（14分）

点评：本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的解析式．