Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-CD-E的大小；
（3）求点E到平面B₁CD的距离．

Answer 1

证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
∵E（2，1，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2）
∴，．
设平面EB₁D的法向量为₁=（x，y，z），则
即，不妨取₁=（1，-2，1）．
同理，平面B₁CD的法向量₂=（-1，0，1）．…（3分）
∵₁•₂=-1+1=0，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD． …（4分）

（2）解由（1）得平面B₁CD的法向量₂=（-1，0，1），
又平面CDE的法向量=（0，0，1），∴…（7分）
∴二面角E-B₁C-D的大小为45°． …（8分）
（3）由（1）得平面B₁CD的法向量₂=（-1，0，1），又
∴点E到平面B₁CD的距离为…（12分）
说明：采用其它方法进行解答的，按每小题（3分），根据作答情况酌情给分．
分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．求出平面EB₁D的法向量₁，和平面B₁CD的法向量₂，根据两个法向量的数量积为0，互相垂直，得到平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）由（1）中平面B₁CD的法向量₂，结合平面CDE的法向量=（0，0，1），代入向量夹角公式，即可求出二面角B₁-CD-E的大小；
（3）由（1）中平面B₁CD的法向量₂，代入点E到平面B₁CD的距离公式d=，可得点E到平面B₁CD的距离．
点评：本题考查的知识点是用空间向量表示平面间的夹角，点到平面之间的距离计算，向量语言表述面面垂直，平行关系，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．