Question

设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤2的解集．
（2）若f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x-1|，
由x-2=0，得x=2；由x-1=0得x=1．
①当x≥2时，f（x）=x-2+x-1=2x-3≤2，解得2≤x≤；
②当1≤x＜2时，f（x）=2-x+x-1=1≤2，成立，故1≤x＜2；
③当x＜1时，f（x）=2-x+1-x=3-2x≤2，解得．
综上所述不等式f（x）≤2的解集为{x|}．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a-2|，
若f（x）≥a对x∈R恒成立，
则只要满足|a-2|≥a，解得a≤1．
∴实数a的最大值是1．
分析：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x-1|，由此利用零点分段讨论法能求出不等式f（x）≤2的解集．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a-2|，若f（x）≥a对x∈R恒成立，则只要满足|a-2|≥a，由此能求出实数a的最大值．
点评：本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值的含义的合理运用．