Question

设函数f(x)=

x+ 1 x

[x]•[ 1 2 ]+[x]+[ 1 2 ]+1

（x＞0），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2]=2，[

1

3

]=0，[1.8]=1．
（1）求f(

3

2

)的值；
（2）若在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据[x]表示不超过x的最大整数求出[

3

2

]与[

2

3

]的值，然后代入函数即可求出f(

3

2

)的值；
（2）先求出函数f（x）的解析式，然后利用导数研究出函数的单调性，求出函数在[2，3）上的最大值，即可求出k的范围．

解答：解：（1）因为[

3

2

]=1，[

2

3

]=0，
所以f(

3

2

)=

3 2 + 2 3

[ 3 2 ]• [ 2 3 ]+[ 3 2 ] +[ 2 3 ] +1

=

13

12

（2）因为2≤x＜3，
所以[x]=2，[

1

x

]=0，
则f(x)=

1

3

(x+

1

x

)．
求导得f′(x)=

1

3

(1-

1

x2

)，当2≤x＜3时，显然有f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[2，3）上递增，
即可得f（x）在区间[2，3）上的值域为[

5

6

，

10

9

)，
在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，
所以k≥

10

9

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值，题目比较新颖，在高考中常考恒成立问题，属于中档题．