Question

【题目】给定，，，所对的边分别是，，，在所在平面作直线与的某两边相交，沿将折成一个空间图形，将由分成的小三角形的不在上的顶点与另一部分的顶点连接，形成一个三棱锥或四棱锥。问：

（1）当时，如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大？（需详证）

（2）当时，如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大？（叙述结果，不要证明）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由棱锥的体积高底面积，易知要使锥体体积最大，则折线的两部分所在平面互相垂直。

如图所设，，

于是，当沿折起，并与成直二面角时，所形成的锥体体积为

当且仅当且，即时成立。

所以，当与，边交于，，，并且所在平面和四边形所在平面垂直时，棱锥体积最大。

（2）当和，边交于，，，并且所在平面和四边形所在平面垂直时，锥体体积最大。

（2）的证明提示：

分三步讨论。

第一步：证明满足条件的必定截成一个以为底的等腰三角形。

1.如图，如果，要证明当时，为最大。

2.如果（注意），则由所给条件，有。因此，当个重合时，最大。

3.如果从点或点出发考虑，我们也可以得到类似结构。

第二步：证明为问题要求的位置时，必与的两邻边相交于，，并且。

第三步：讨论的具体位置。