题目内容

已知函数f（x）=x³-ax．（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证： $数学公式$ ．

解（I）f′（x）=3x²-a
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，由由f′（x）≥0可得c× $\text{[math]}$ 或x $\text{[math]}$
由f′（x）＜0可得 $\text{[math]}$
综上可得，a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，+∞），（-∞，- $\text{[math]}$ ），单调递减区间（ $\text{[math]}$ ）
（II）证明：原不等式可化为xlnx＞ $\text{[math]}$
容易得x＞0，上式两边同乘以x可得x²lnx $\text{[math]}$
设p（x）=x²lnx，q（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则由p′（x）=x（2lnx+1）可得x=0（舍）或x= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 时，p′（x）＜0，x＞ $\text{[math]}$ 时，p′（x）＞0
∴当x= $\text{[math]}$ 时，函数p（x）取得最小值 $\text{[math]}$
∵q（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 即xe^x=e时取等号
令r（x）=xe^x，可得r（x）在（0，+∞）上单调递增，且r（1）=e
当x=1时，q（x）有最小值q（x）=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由于上面两个等号不能同时取得，故有p（x）＞q（x0，则原不等式成立
分析：（I）先求导，令f′（x）=0，由f′（x）≥0可求函数的递增区间，由f′（x）＜0可求函数的单调递减区间
（II）要证明原不等式，可转化为证明x²lnx $\text{[math]}$ ，构造函数设p（x）=x²lnx，q（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用导数可得当x= $\text{[math]}$ 时，函数p（x）取得最小值 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式可求q（x）有最小值q（x）=- $\text{[math]}$ ，可证
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，而（2）中的证明具有很强的技巧性，综合了导数求解函数的最值，基本不等式求解函数的最值及利用构造函数证明不等式．