Question

已知圆C：x²+（y-1）²=1和圆C₁：（x-2）²+（y-1）²=1，现在构造一系列的圆C₁，C₂，C₃，…，C_n，…，使圆C_n+1同时与C_n和圆C都相切，并都与OX轴相切．回答：
（1）求圆C_n的半径r_n；
（2）证明：两个相邻圆C_n-1和C_n在切点间的公切线长为

1

C 2 n

；
（3）求和

lim

n→∞

(

1

C 2 2

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

)．

Answer 1

分析：（1）利用EC_n-1=AB=AC_n+BC_n，建立等式，可得{

1

rn

}成等差数列，由此可得结论；
（2）利用勾股定理可求两个相邻圆C_n-1和C_n在切点间的公切线长；
（3）利用裂项法求和，再求极限即可．

解答：（1）解：如图，在直角梯形ODC_n-1C中，AC=1-r_n，CC_n=1+r_n，CC_n-1=1+r_n-1，C_nC_n-1=r_n+r_n-1．C_n-1B=r_n-1-r_n．…（2分）
∴有AC_n=

(1+rn)2-(1-rn)2

，BCn=

(rn-1+rn)2-(rn-1-rn)2

，ECn-1=

(1+rn-1)2-(1-rn-1)2

，EC_n-1=AB=AC_n+BC_n
∴

(1+rn)2-(1-rn)2

+

(rn-1+rn)2-(rn-1-rn)2

=

(1+rn-1)2-(1-rn-1)2

∴

4rn

+

4rnrn-1

=

4rn-1

．即

rn-1

-

rn

=

rnrn-1

．…（4分）
由此可得

1

rn

-

1

rn-1

=1．
∴{

1

rn

}成等差数列，…（6分）
∵r₁=1，∴

1

rn

=

1

r1

+(n-1)×1=n，∴rn=

1

n2

．…（8分）


（2）证明：公切线长为l_n=

(rn+rn-1)2-(rn-1-rn)2

=2

rn-1rn

=

2

(n-1)n

=

1

C 2 n

．…（11分）
（3）解：

1

C 2 2

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

=2(1-

1

2

)+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n-1

-

1

n

)=2(1-

1

n

)．
∴

lim

n→∞

(

1

C 2 2

+

1

C 2 3

+…+

1

C 2 n

)=2．…（14分）

点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查直线与圆的位置关系，考查极限的求解，属于中档题．