题目内容

19.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,且AA1=4,则此三棱柱外接球的表面积为(  )
A.$\frac{13}{3}π$B.$\frac{16}{3}π$C.$\frac{42}{3}π$D.$\frac{64}{3}π$

分析 由题意推出三棱柱上下底面中心连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,求出球的半径,即可求出外接球的表面积.

解答 解:∵正三棱柱ABC-A1B1C1的中,底面边长为2,高为4,
由题意可得:三棱柱上下底面中心连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O,外接球的半径为r,表面积为:4πr2
球心到底面的距离为2,
底面中心到底面三角形的顶点的距离为:$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以球的半径为r=$\sqrt{4+\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
外接球的表面积为:4πr2=$\frac{64}{3}$π
故选:D.

点评 本题考查空间想象能力,计算能力;三棱柱上下底面中心连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,是本题解题的关键,仔细观察和分析题意,是解好数学题目的前提.

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