Question

【题目】如图，垂直于所在的平面，为的直径，是弧上的一个动点（不与端点重合），为上一点，且是线段上的一个动点（不与端点重合）.

（1）求证：平面；

（2）若是弧的中点，是锐角，且三棱锥的体积为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由为的直径，得到，又由平面，证得，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.

（2）当点位于线段上时，如图所示：作，垂足为点，根据线面垂直的判定定，证得平面，得到是三棱锥的底面上的高，再来体积公式，列出方程，即可求解.

（1）证明：因为为的直径，

所以根据直径所对的圆周角是直角，可知，

因为平面，平面，所以，

又因为平面平面，所以平面，

又平面，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）当点位于线段上时，如图所示：作，垂足为点，

因为平面，平面，所以，

又因为，所以，

又因为平面，所以平面，

所以是三棱锥的底面上的高，

因为是弧的中点，且，

所以，且，

若三棱锥的体积为，

则，解得，

所以，所以，

所以，

综上所述，当三棱锥的体积为时，.