Question

f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，且x∈[0，1）时f（x）为增函数，则不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0的解集为

(-

1

2

，

1

4

)

．

Answer 1

分析：根据奇函数的性质可得：x∈（-1，0]，时，f（x）也为增函数，可得f（x）是定义在（-1，1）上是增函数．所以由不等式f(x)+f(x-

1

2

)＜0变形为f(x)＜f(

1

2

-x)，再利用f（x）是定义在（-1，1）上是增函数，得到不等式组，进而求出答案．

解答：解：因为f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，且x∈[0，1）时f（x）为增函数，
所以根据奇函数的性质可得：x∈（-1，0]，时，f（x）也为增函数，
所以f（x）是定义在（-1，1）上是增函数．
因为f(x)+f(x-

1

2

)＜0，并且f（x）是奇函数，
所以f(x)＜f(

1

2

-x)，
又因为f（x）是定义在（-1，1）上是增函数，
所以

-1＜x＜1 -1＜ 1 2 -x＜1 x＜ 1 2 -x

，解得：-

1

2

＜x＜

1

4

．
故答案为：(-

1

2

，

1

4

)．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的应该性质，如奇偶性、单调性、定义域等性质，并且正确的利用函数的性质将抽象不等式转化为不等式进行求解，而转化时要注意定义域的限制即要进行等价转化，此题属于中档题，是易错题．