Question

过x轴上的动点T（t，0），引抛物线y=x²+1两条切线TP，TQ，P，Q为切点．
（Ⅰ）求证：直线PQ过定点N，并求出定点N坐标；
（Ⅱ）若t≠0，设弦PQ的中点为M，试求S_△OTM|OT|的最小值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线方程设出P，Q的坐标，把P，Q分别代入抛物线方程进行求导，可求得直线TP，TQ的斜率，进而利用两点表示出两直线的斜率，建立等式整理后可推断出x₁，x₂为方程x²-2tx-1=0的两根，利用韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用点斜式表示出直线PQ的方程，整理后把x₁+x₂和x₁x₂的表达式代入，求得y=2tx+2，进而可推断出直线PQ恒过定点（0，2）
（Ⅱ）设出点M的坐标，进而利用三角形面积公式表示出△OTM的面积，根据直线PQ恒过定点（0，2），设直线PQ方程，代入抛物线方程，整理后，利用韦达定理求得（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1．利用二次函数的性质可k的值确定y₀的最小值，进而确定S_△OTM|OT|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，x₁²+1），Q（x₂，x₂²+1）
把P代入抛物线方程进行求导得y'=2x₁，即PT的斜率为2x₁，
∴

x 2 1 +1

x1-t

=2x₁，整理得x₁²-2tx₁-1=0；同理可得x₂²-2tx₂-1=0
∴x₁，x2为方程x²-2tx-1=0的两根
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1
直线PQ的方程：y-（x₁²+1）=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

（x-x₁）
整理得：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂+1；即y=2tx+2
∴直线PQ恒过定点（0，2）
（Ⅱ）设点M坐标为（x₀，y₀），则s_△OTM：|OT|=(

1

2

y0•|t|)：|t|=

y0

2

，
由（Ⅰ）直线PQ过定点N（0，2），
设直线PQ方程为y=kx+2代入y=x²+1整理得x²-kx-1=0，
设p（x₁，y₁）Q（x₁，y₂），则（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1，y₀=k₀+2=k•

x1+x2

2

+2=

k2

2

+2≥2，
当k=0时，y₀最小值为：2，
所以s_△OTM|OT|最小值为：1．

点评：本题主要考查了抛物线的应用和直线与抛物线的关系．注重了学生分析推理和基本的计算能力的考查．