Question

设P（t，0）为x轴上的动点，过P作抛物线y=x²+1的两条切线，切点分别为A、B
（1）求线段AB中点M的轨迹方程；
（2）求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
（3）设△PAB的面积为S，求

S

|OP|

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设出过P的切线方程，与抛物线方程联立，因为切线与抛物线只可能有一个交点，所以∴△=0，就可求出两条切线的斜率之积，再用导数求出曲线在A，B点的切线斜率，用A，B点的横坐标表示，就可得到A，B点的横坐标的关系式，因为M时A，B的中点，把M点坐标用A，B点坐标表示，代入前面求出的A，B横坐标满足的关系式，消去参数，就可得到M点的轨迹方程．
（2）利用导数，求出曲线在A，B点的切线斜率，把两条切线方程都用以A，B点坐标为参数的方程表示，观察两个方程，形式相同，都满足y=2tx+2，所以可得到直线AB的方程为y=2tx+2．
（3）用点到直线的距离公式求出三角形PAB的高，用弦长公式求出线段AB长，代入

S

|OP|

，化简为直含t的式子，再用导数求出最小值．

解答：解：（1）设过P（t，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-t）
由 

y=x2+1 y=k(x-t)

，得，x²-kx+（kt+1）=0
∵直线与抛物线相切，
∴方程x²-kx+（kt+1）=0有一解，
∴△=k²-4（kt+1）=k²-4tk-4=0
则k₁，k₂都是方程k²-4tk-4=0的解，故k₁k₂=-4
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
对函数y=x²+1求导数，得y′=2x，
∴抛物线y=x²+1在A（x₁，y₁）点处的切线斜率为2x₁，在B（x₂，y₂）点处的切线斜率为2x₂，
∴2x₁•2x₂=-4，即x₁x₂=-1
∵M为AB中点，∴x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

∵A，B点在抛物线y=x²+1，∴y₁=x₁²+1，y₂=x₂²+1，
∴y₁+y₂=x₁²+1+x₂²+1=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2
即2y=（2x）²+2+2，2x²-y+2=0
∴线段AB中点M的轨迹方程为2x²-y+2=0
（2）由（1）知，直线PA的方程为y-y₁=2x₁（x-x₁），直线PB的方程为y-y₂=2x₂（x-x₂），
∵P（t，0）为两条切线的交点，∴-y₁=2x₁（t-x₁），即-y₁=2x₁t-2x₁²，
∵y₁=x₁²+1，∴-y₁=2x₁t-2（y₁-1），y₁=2x₁t+2，同理，y₂=2x₂t+2，
∴直线AB的方程是y=2tx+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（3）P点到AB的距离d=

|2t2+2|

4t2+1

=

2|t2+1|

4t2+1

联立直线AB与抛物线y=x²+1，

y=2tx+2 y=x2+1

消去y，得，x²-2tx-1=0
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1，∴|AB|=

1+4t2

|x₁-x₂|=

1+4t2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+4t2

4t2+4

|OP|=|t|
∴

S

|OP|

=

1 2 |AB|d

|OP|

=

1 2 1+4t2 4t2+4 2|t2+1| 4t2+1

|t|

=

2 t2+1 |t2+1|

|t|

=2

(t2+1)3 t2

（t≠0）
令

S

|OP|

=m，则m=

(t2+1)3 t2

对m求导，的m′=

2t3+6t -2t-3

t4+3t2+3+t-2

，令m′=0，得，t=-

2

2

，
∵当t＜0时，m′＜0．t＞0时，m′＞0，∴函数m=

(t2+1)3 t2

在t=-

2

2

处有极小值，
又∵函数在整个定义域上只有一个极小值，
∴此时函数有最小值，也即

S

|OP|

有最小值，最小值为

3 3

2

．

点评：本题主要考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，以及应用导数求函数的最小值．