Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且，.

（1）求证：：

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）取的中点，连结，，，结合题意，可得，从而得到，在△中，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而证得；（2）利用，结合三棱锥的体积公式，求得结果.

（1）证明：取的中点，连结，，，

因为底面为菱形，，

所以．

因为为的中点，所以．

在△中，，为的中点，

所以．

因为，所以平面．

因为平面，所以．

（2）解法1：在△ 中，，所以．

因为底面是边长为2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因为，所以．

由（1）有，且，平面，平面，

所以平面．

在△中，由（1）证得，且，所以．

因为，所以．

在△中，，，

所以．

设点到平面的距离为，

因为，即．

所以．

所以点到平面的距离为．

解法2：因为，平面，平面，

所以平面．

所以点到平面的距离等于点到平面的距离．

过点作于点．

由（1）证得平面，且，

所以平面．

因为平面，所以 ．

因为，平面，平面，

所以平面．

在△ 中，，所以．

因为底面是边长为2的菱形，，所以．

在△中，，，，

因为，所以．

在△中，根据等面积关系得．

所以．

所以点到平面的距离为．