Question

已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,

(1)ka+b与a-3b垂直?

(2)ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?

Answer 1

活动:向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系,是高考考查的重要内容之一.在解决本题时,教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度,角度,垂直的问题;共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础,那么,怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会,进一步熟练、提高.

解:(1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

当(ka+b)·(a-3b)=0时,这两个向量垂直.

由(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,解得k=19,

即当k=19时,ka+b与a-3b垂直.

(2)当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,

使ka+b=λ(a-3b).

由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得.

这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组.

解这个方程组得k=-,λ=-,即当k=-时,ka+b与a-3b平行,

这时ka+b=-a+b.因为λ=-＜0,所以-a+b与a-3b反向.

点评:共线向量的充要条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中各有特点,解题时可灵活地选择.在本例中,也可以根据向量平行充要条件的坐标形式,从(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,先解出k=-,然后再求λ.