Question

若(x+

1

x

-2)n的展开式中常数项为-20，则自然数n=

 

．

Answer 1

分析：先凑二项式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程．

解答：解：(x+

1

x

-2)n=(

x

-

1

x

) 2n
(

x

-

1

x

)2n展开式的通项为Tr+1=

C

r 2n

(

x

)2n-r(-

1

x

)r=（-1）^rC_2n^rx^n-r
令n-r=0得n=r
∴展开式中常数项为（-1）ⁿC_2nⁿ
∵展开式中常数项为-20
∴（-1）ⁿC_2nⁿ=-20
∴n=3
故答案为3

点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．