Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据基本不等式求其范围即可．
（2）先将关于B的表达式cos2B-4sin（）sin（）+m化简成2（cosB-）²+m-，cos2B-4sin（）sin（）+m＞0恒成立即2（cosB-）²+m-的最小值大于0成立即可，转化成球函数2（cosB-）²+m-的最小值问题．．
解答：解：（1）∵b²=ac
cosB=≥=
当且仅当a=b=c时，cosB=
∴B∈（0，]
（2）cos2B-4sin（）cos（）+m
=cos2B-4sin（）sin（）+m
=cos2B-2[1-cos（+B）]+m
=2cos²B-2sinB+m-3
=2（cosB-）²+m-
≤cosB＜1
∴2（cosB-）²+m-∈[m-，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（）sin（）+m＞0恒成立．
∴m-＞0，m＞
故m的取值范围是（，+∞）
点评：本题主要考查余弦定理和基本不等式的应用．对三角函数求解得问题时要先对其原函数进行化简．