Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．
（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设Cn= （n∈N*），求证Cn+1＜Cn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当n≥2时，由an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．

由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．

∵a1=1≠0，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．

∴ ．

②等差数列{bn}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则 ，解得 ．

∴bn=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6

（2）解：由（1）可得 = ．

∴ =cn．

∵3n=（1+2）n= …+2n≥3n，

∴

【解析】（1）①利用 ，及等比数列的通项公式即可得出an；②利用等差数列的通项公式即可得出bn；（2）由 即可得到cn+1＜cn；利用二项式定理可得3n=（1+2）n≥3n，即可证明 ．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．